viernes, 25 de diciembre de 2015

Pitágoras - Vida y obra (580 a. C. - 500 a. C.).

Tales de Mileto había extrapolado las matemáticas en la naturaleza y así emprendió y expandió entre los griegos la curiosidad por el mundo lógico racional. Sin embargo, desde Pitágoras es que vemos una concentración especial en el área estrictamente matemática. Al igual que Tales, para la posteridad quedaron algunos de sus teoremas que compartiremos en esta sección junto con la vida de dicho sabio. Si Homero y Hesíodo eran los padres de tod la literatura que conocemos, Pitágoras es el gran padre de las matemáticas, llevó tanto así su pasión por las matemáticas que llegó a concluir que todo estaba compuesto de números. Veamos qué nos puede entregar nuestro personaje de hoy.

Pitágoras


Infancia y juventud

Pitágoras nació en Samos el año 580 a. C. su padre fue Mnesarco que era un mercader y su madre fue Pythais quien vivía en Samos, Jonia. Desde muy pequeño siempre fue muy inteligente y acompañaba a su padre a todos los viajes que realizaba. Su nombre se debe a que una vez, su padre quien viajaba con frecuencia viajó al oráculo de Delfos y éste le dijo que tendría un hijo célebre por su sabiduría; de ahí su nombre Pitágoras, ''el anunciado por el oráculo''. 

Samos era una ciudad tiránica gobernada por Polícrates quien Pitágoras odiaba a muerte. Este hecho hizo que Pitágoras se retirara a Crotona, una colonia griega que hoy en día forma parte de Italia. Allí fundó una comunidad matemática esotérica que dirigió toda su vida. 

La comunidad matemática

A Pitágoras le gustaba el secreto. Se escondía de las miradas de los ciudadanos en la Antigua Grecia, de hecho, sus discípulos sólo lo conocían luego de cuatro años de entrenamiento en la comunidad. 

Las otras escuelas educativas de la Antigua Grecia se diferenciaban de la pitagórica en que ésta última el silencio era lo esencial. Así es como una vez Pitágoras dijo:

''El silencio es la primera piedra del templo de la sabiduría''

En la comunidad se comía poco, se vestía sin demasiado arreglo e incluso la risa tenía sus prohibiciones. De hecho, en la comunidad pitagórica estaba prohibido comer habas porque se decía que estas encerraban el alma de los difuntos. 

Pitágoras detestaba las cosas útiles, es decir, las cosas que sirven para otras cosas. Esta creencia, en todo caso, era generalizada entre todos los griegos. Sólo lo inútil es lo que sirve en sí mismo. 

Alguno de sus alumnos fueron:
  • Anaximandro (directamente con Pitágoras) 
  • Tales de Mileto (directamente con Pitágoras) 
  • Hipaso de Metaponto
  • Filolao

Estos fueron sus alumnos, pero además de esto su influencia posterior hizo que incluso hasta los pensadores y matemáticos sucesores se conviertan en alumnos.

Creencias

Las matemáticas de Pitágoras estaban entrelazadas con la religión y el misticismo. Como dijimos Pitágoras creía en la reencarnación, pero no como se concebía en el hinduismo sino que con otro concepto llamado Metempsicosis. Esta doctrina consistía en considerar al cuerpo como una cárcel del alma, muy similar a la teoría de la reminiscencia de Platón en el Fedón. Luego de que el alma se liberaba del cuerpo, ésta tomaba posesión de un cuerpo, ya fuera este humano, animal o vegetal. 

Pitágoras creía firmemente al igual que Platón que el alma era inmortal y que ésta tenía una naturaleza contradictoria con el cuerpo. En efecto, el alma es algo divino mientras que el cuerpo algo humano. El alma debía resarcirse de todas sus contaminaciones por medio de rituales que volvían a purificar el alma. ¿Cómo podía purificarse el alma? Exacto, por medio del aprendizaje de las matemáticas. 

Aporte en la música

Según las fuentes griegas, Pitágoras pasaba por delante de una tienda de artesanos que golpeaban unos yunques con martillos. El matemático se dio cuenta que los golpes que se le daban al yunque originaban cierto ritmo y cierta tonalidad. Una vez que experimentó la sensación fue directamente a su casa a probar el ritmo, haciendo vibrar varias cuerdas con cierta tensión para producir notas. De aquí Pitágoras descubrió que las tonalidades dependen de las vibraciones que origina un instrumento.

Al tener esta teoría en mente, Pitágoras comenzó a construir un instrumento que sustentará su teoría de la música, el monocordio (también llamado canon). Dicho instrumento consistía en una especie de caja la cual tenía una cuerda en la parte superior. Al tocar dicha cuerda se produce un sonido y si se tensa más la cuerda produce uno diferente. También es fundamental considerar la longitud que tiene la cuerda cuando produce un sonido. 





Realizando cada nota y diferenciandolas por sus vibraciones, Pitágoras construyó los primeros intervalos musicales de la historia. ¿Cómo lo descubrió? con ayuda del monocordio. En efecto, si una cuerda del monocordio es cortada, dicha cuerda produce un nuevo sonido y más agudo, en otras palabras una octava

La octava es un intervalo de ocho notas en la escala musical:

DO
RE
MI
FA
SOL
LA
SI
DO
T
1
2
3
4
5
6
7

En la escala se comienza con Do que es la nota ''tónica'' y se termina con la misma pero en su modalidad aguda. 

Aportes en la cosmología

Armonía de las esferas

Una vez que hemos comprendido lo que es una escala, podemos entender ahora la armonía de las esferas. Esta teoría postula que la distancia entre los planetas corresponde justamente al intervalo musical propuesto anteriormente. Cada astro en el espacio tiene una nota musical y su distancia corresponde con la vibración que emiten dichos planetas que son imperceptibles para los humanos. 

El ''arjé'' pitagórico 

Cuando Pitágoras se dio cuenta de que en la música y en los planetas habían seres matemáticos, sin miramientos aseveró que todo proviene y está formado por el número. 

Pero ¿cuál sería el primero de todos los números? para Pitágoras será la mónada. La monada es nada menos que la unidad y así decimos que el uno es el primero de todos los números. De este modo formamos la siguiente figura:



La forma final que se establece es el llamado Tetraktys. Este representaba un símbolo de adoración entre los pitagóricos, pues comprende la formación de todos los números (10). En efecto, cuando queremos referirnos a un número ya sea grande o pequeño tendremos que servirnos de estos diez. De ahí la oración de los pitagóricos.

''El número divino comienza por la unidad pura y profunda para culminar con el cuatro sagrado''

Tetrakis
De esta figura se comprenden cuatro puntos significativos: El uno (o la unidad), representa lo divino y origen de todas las cosas; el dos (o dualidad), representa la dualidad y la contradicción; el tres (o tríada), representa los distintos mundos, el terrenal, celestial e infernal; el cuatro (o cuaternario), representa los cuatro elementos tierra, fuego, aire y agua. Los pitagóricos consideraban el número diez como el número perfecto. 

Aporte en las matemáticas

Uno de los aportes más significativos que Pitágoras nos dejó fue el concepto de prueba. Este concepto consistía simplemente en probar las teorías matemáticas que se presentan, es decir, no sólo hay que conocer una teoría, sino que también comprobarla. 

Luego de instaurar el concepto de prueba, todo lo relacionado con el mundo, Pitágoras lo comenzó a racionalizar en axiomas, en otras palabras, leyes necesarias que obedecen a un orden necesario en la vida. 

Teorema de pitágoras

Este teorema es un clásico ejercicio matemático que sirve para sacar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por medio de la suma de sus catetos. 

Lo primero que debemos tener para realizar el teorema es el triángulo rectángulo, el cual se construye a partir de un ángulo de 90º.



Ahora debemos identificar los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Los catetos son los lados menores del triángulo y la hipotenusa es la parte más larga de dicho triángulo. 


Para sacar el resultado de la hipotenusa deberemos sumar solamente los catetos. Así la hipotenusa es igual a la suma de ambos catetos al cuadrado. Ahora asignemos al cateto lateral como A, al cateto inferior como B y a la hipotenusa como C. 


Determinemos los puntos A, B y C con números para hacer una operación real. Decíamos que C = A² + B², si A es 6 y B es 8 tendremos que 6² + 8² = C. Hagamos la suma:

  • 6² + 8² = C
    36 + 64 = 100

Por lo tanto, 6² + 8² = 100 siendo su raíz cuadrada 10, el cual es el resultado de la hipotenusa. Obviamente, estos ejercicios pueden hacerse cada vez más complicados. 

Muerte

Poco se sabe sobre los incidentes que llevaron a la muerte a éste gran matemático. Debido al creciente número de pitagóricos en las magistraturas, y el odio acumulado que tenía Cilón (líder de un movimiento contra los pitagóricos en Crotona) los ciudadanos de Crotona se opusieron a los pitagóricos y comenzaron a atacarlos. Pitágoras quien ya estaba en una avanzada edad (80 años) murió mientras lo perseguían dichos hombres.  

sábado, 19 de diciembre de 2015

Tales de Mileto - Vida y obra (625 o 624 a. C. - 547 o 546 a. C.).

Los filósofos que estaban antes de Sócrates tienen un mérito increíble, de hecho, si no fuera por ellos quizás no tendríamos a las mentes más privilegiadas de la Antigua Grecia como Pitágoras, Platón o Aristóteles. Si se observa cuidadosamente, veremos que en cada teoría de los filósofos que sucedieron al gran Tales de Mileto. Pero no sólo hay una contribución en términos de filosofía, sino que también dejó un legado importante en el mundo de las matemáticas, y de este legado nos ocuparemos ahora al analizar la vida de Tales de Mileto. Empecemos con esta nueva sección de Filosofía Apuntes.  

Tales de Mileto

Su modo de vida

Tales de mileto nació cerca del año 625 a. C. en la ciudad de Mileto (actual Aydin, Turquía) donde la Antigua Grecia sólo se conocía por las grandes historias de Homero y Hesíodo. La ciencia aún no aparecía como tal, pero Tales se encargaría de promoverla muy pronto. 

Un hombre estudioso considerado como uno de los siete sabios de Grecia. Se dice que le gustaba estar sólo con sus estudios de los cuales se sentía muy a gusto. Nunca se casó, pues seguramente eso le significaría ocupar su tiempo en otras cosas distintas a estudiar. De hecho, su madre le decía que se casara pronto cuando Tales tenía la edad apropiada para ello, pero éste le decía ''aún es muy temprano'', pero cuando ya no había excusas para prolongar su soltería, el filósofo le dijo a su madre ''ya es muy tarde''. 

El primer monopolio

Gracias a un gran negocio realizado sobre la base de su sabiduría, Tales vivió una vida tranquila que le permitiría concentrarse solamente en sus estudios. 

Los conocimientos astronómicos de Tales hicieron que éste pudiera predecir una gran cosecha de aceitunas. Al saberlo, el filósofo consiguió todas las prensas de aceite de Mileto y Quíos y a fin de año se hizo millonario, pues todos necesitaban las cosechas de aceituna y Tales las tenía todas para vender. Este episodio es descrito en el primer libro de La Política de Aristóteles.  

Viajes

Uno de sus primeros viajes fue a Egipto donde aprendería matemáticas que posteriormente las introdujo en Grecia. Estuvo en Babilonia donde aprendió todo lo que sabía sobre Astronomía. A partir de ahí concibió la teoría de que la Osa Menor serviría como guía para saber donde estaba el norte, lo que sirvió de mucha ayuda en las navegaciones. 

Aportes en la Astronomía

Tales no sólo se sirvió de enriquecerse con la ciencia de la astronomía, sino que también fue uno de los primeros hombres que predijo un eclipse solar. Dicho eclipse ocurrió en el año 585 a. C. y lo había predicho con más de un año de antelación. 

Esto hizo que los reyes de Lidia y Media (quienes tendrían una batalla) desistieran de atacarse y así hicieron una tregua inmediatamente. ¿Por qué? porque estos reyes interpretaron el eclipse solar como una señal de los dioses que querían decirles que no pelearan. 

El acontecimiento de esto dio lugar a dejar la especulación y la ambigüedad de lo divino, y considerar a los eclipses como algo calculable y científico; no ya como algo religioso o profético. 

Aportes en la filosofìa

El aporte más extraordinario dentro de la filosofía fue establecer el primer elemento que existió en el universo; el elemento de donde vienen todas las cosas: el agua. A este elemento de donde provenían todas las cosas los griegos lo llamaron ''arjé''. Lo que quería decir Tales con esto, es que vivimos en un mundo hecho de agua, venimos del agua y terminamos como agua. De hecho, aseguraba que la tierra estaba sostenida por el agua. 

En todo caso, dicha idea la extrajo desde el mundo egipcio, pero la diferencia es que Tales no la propone desde el mito, sino desde la ciencia. 

Aportes en las matemáticas

Otro aporte muy significativo y que nos atañe imperiosamente en este blog, son los dos teoremas geométricos que dejó para toda la posteridad. 

Seguramente, estos teoremas los aprendió en Egipto, pues gracias a ellos pudo calcular el tamaño de las pirámides de Guiza a partir de la sombra de una vara. 

Primer teorema

Para empezar el primer teorema tengamos en cuenta la definición de triángulo semejante

  • Cuando dos figuras geométricas tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes, entonces tenemos lo que se conoce como semejanza.

En el caso del teorema de Tales, necesitamos establecer una semejanza entre dos triángulos, es decir, debemos tener triángulos semejantes.


  • Usemos dos triángulos rectángulos (los que tienen un ángulo de 90º). 



  • Ahora establezcamos la regla básica de la geometría instaurada por Tales de Mileto.

    ''Si en un triángulo se traza una línea paralela en cualquiera de sus lados, se obtienen dos ángulos semejantes''


  • De acuerdo con el teorema de Tales, los dos triángulos son semejantes y por lo tanto, digamos que el lado A y B del triángulo son proporcionales a los lados C y D del triángulo más grande.


  • Esto nos da como resultado que A y B es proporcional a C y D


¿Cómo es que Tales de Mileto usó una teoría así para medir la altura de las pirámides? Imaginemos que el triángulo más grande es una pirámide, pero representarla con un triángulo rectángulo, mientras que el triángulo pequeño fue representado con una vara.  


Este es uno de los teoremas que ha quedado como legado en las matemáticas, veamos el segundo teorema. 

Segundo teorema 

Este teorema no sólo toma en cuenta los triángulos rectángulos, sino que también los círculos y ángulos inscritos (ángulo dentro de una circunferencia). 

  • Tengamos una circunferencia con un diámetro de A y B. 



  • Luego añadamos un punto C distinto de A y B para formar un triángulo rectángulo.


  • Ahora añadamos un punto central en la circunferencia representado por O.



  • Si unimos el punto O con el punto C tendrémos un triángulo Isósceles (triángulo con dos lados iguales y uno distinto). Los puntos AOC forman dicho triángulo lo mismo que BOC.


  • Como el radio de AO, CO y BO son iguales, los ángulos que se forman en la circunferencia también lo son. 



Hasta aquí hemos demostrado los dos teoremas de Tales de Mileto. Veamos cómo se aplican a los siguientes ejercicios.

Ejercicios

Necesitamos saber la altura del triángulo rectángulo grande por medio de las características del triángulo rectángulo más pequeño.


Digamos que la altura del triángulo rectángulo grande es ''A'', entonces tendríamos que: A = 3; 8 = 4 

A = 3
8     4

Debemos multiplicar 8 x 3 y dividirlo por 4 y tendremos el resultado: 6. 

Muerte

La muerte de Tales 78 años y fue una de las más conocidas en el mundo antiguo. Una noche caminando por las afueras de Mileto, Tales que se encontraba mirando las estrellas no dio cuenta de un pozo cercano. Se cayó en él y murió. Una muerte en verdad, si se puede decir de alguna manera... absurda. 

En todo caso, mucho más glorioso fue el epitafio que le dejaron el cual dice ''la grandeza de los orbes celestes que en su entendimiento tuvo el sabio Tales''.